2025年9月28日 星期日
程式碼加速魔法：尋找最大面積三角形的三種策略
***此篇文章由 Gemini AI 產生***
在電腦程式設計與幾何學的領域裡，尋找平面點集中最大面積三角形是個經典問題。當我們手上的點的數量 $N$ 越來越多時，要怎麼從最初的 $O(N^3)$ 暴力解法加速呢？
這篇文章將帶你深入了解三種不同的解法：從**最直覺的暴力嘗試**，到善用**幾何特性來加速**，最後是挑戰理論極限的**旋轉卡尺法**。我們將提供完整的 Python 程式碼實作，並分析它們在不同情境下的優缺點。
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## 輔助工具：面積計算
不論用哪種方法，我們都需要一個快速計算三角形面積的工具。這裡我們採用行列式形式的**鞋帶公式 (Shoelace Formula)**，它可以算出兩倍的三角形面積（可能帶有正負號）。
$$\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$
在所有實作中，我們都將重複使用這個核心函式：
```python
from typing import List
def get_signed_double_area(p1: List[int], p2: List[int], p3: List[int]) -> float:
"""計算由 p1, p2, p3 三點組成的三角形，有正負號的兩倍面積。"""
# 這就是行列式 (determinant) 的計算
return (
p1[0] * (p2[1] - p3[1])
+ p2[0] * (p3[1] - p1[1])
+ p3[0] * (p1[1] - p2[1])
)
```
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## 方法一：暴力窮舉 (Brute Force) - $O(N^3)$
這是最簡單、最容易寫的方法。
### 核心原理
我們只需要找出所有 $\binom{N}{3}$ 種**三個點的組合**，計算每一個三角形的面積，然後挑出最大的那個。由於它的邏輯非常簡單，**常數因子極小**，所以在點的數量 $N$ 不大的時候（例如 $N \le 50$），這個方法**跑起來通常是最快的**。
### 程式碼實作
```python
class Solution_O_N3:
def largestTriangleArea(self, points: List[List[int]]) -> float:
n = len(points)
ans = 0.0
# 三層迴圈遍歷所有可能的 i < j < k 組合
for i in range(n):
for j in range(i + 1, n):
for k in range(j + 1, n):
p1 = points[i]
p2 = points[j]
p3 = points[k]
# 計算兩倍面積 (行列式)
determinant = get_signed_double_area(p1, p2, p3)
# 面積 = abs(行列式) / 2
ans = max(ans, abs(determinant) / 2.0)
return ans
```
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## 方法二：凸包 (Convex Hull) + $O(M^3)$ 檢查 - $O(N \log N + M^3)$
這個方法開始運用幾何上的小技巧。它利用了這個很重要的特性：
> **最大面積三角形的三個頂點，一定都在點集合的** **凸包 (Convex Hull)** **上。**
### 核心原理
1. **計算凸包 (O(N log N))：** 先用 **Monotone Chain** 等演算法找出凸包 $H$。
2. **縮小檢查範圍：** 假設凸包上有 $M$ 個點，我們只需要檢查這 $M$ 個點之間的 $\binom{M}{3}$ 種組合。
3. **暴力檢查 (O(M^3))：** 在凸包點上執行最可靠的三層迴圈。
如果你的點很多 ($N$ 很大)，但它們大多擠在中間，只有少數幾個點在邊緣 ($M$ 很小)，這個方法就會有非常顯著的加速效果。
### 程式碼實作
```python
class Solution_ConvexHull_O_M3:
# Monotone Chain 凸包演算法
def convex_hull(self, points: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
# 1. 排序 O(N log N)
points.sort()
if len(points) <= 2: return points
# 2. 構造上凸包 (upper)
upper = []
for p in points:
# 移除造成順時針轉向或共線的中間點 (<= 0)
while len(upper) >= 2 and get_signed_double_area(upper[-2], upper[-1], p) <= 0:
upper.pop()
upper.append(p)
# 3. 構造下凸包 (lower)
lower = []
for p in reversed(points):
# 移除造成順時針轉向或共線的中間點 (<= 0)
while len(lower) >= 2 and get_signed_double_area(lower[-2], lower[-1], p) <= 0:
lower.pop()
lower.append(p)
# 4. 結合上下凸包，去除頭尾重複點
return upper[:-1] + lower[:-1]
def largestTriangleArea(self, points: List[List[int]]) -> float:
# 步驟 1: 計算凸包 O(N log N)
hull_points = self.convex_hull(points)
M = len(hull_points)
if M < 3:
return 0.0
ans = 0.0
# 步驟 2: 僅在凸包點上進行 O(M^3) 檢查
for i in range(M):
for j in range(i + 1, M):
for k in range(j + 1, M):
p1 = hull_points[i]
p2 = hull_points[j]
p3 = hull_points[k]
determinant = get_signed_double_area(p1, p2, p3)
ans = max(ans, abs(determinant) / 2.0)
return ans
```
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## 方法三：凸包 + 旋轉卡尺 (Rotating Calipers) - $O(N \log N)$
這是挑戰演算法理論極限的方法。它將凸包上的檢查從 $O(M^3)$ 降低到驚人的 $O(M)$。
### 核心原理：單調性
旋轉卡尺利用了幾何上的**單調性**：當我們固定一條基底邊 $\overline{p_i p_j}$，離它最遠的第三個點 $p_k$ 會隨著 $p_j$ 的移動而**順序移動**。
因此，我們不用三層迴圈，而是讓三個指針 $i, j, k$ **同步沿著凸包前進**。在整個演算法過程中，每個指針都只會繞凸包一圈，讓總複雜度降到 $O(M)$。
### 程式碼實作
```python
class Solution_RotatingCaliper_O_NlogN:
# (convex_hull 函式和方法二相同，這裡為保持簡潔省略)
def convex_hull(self, points: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
# ... (請參考方法二的實作) ...
points.sort()
if len(points) <= 2: return points
upper = []
for p in points:
while len(upper) >= 2 and get_signed_double_area(upper[-2], upper[-1], p) <= 0:
upper.pop()
upper.append(p)
lower = []
for p in reversed(points):
while len(lower) >= 2 and get_signed_double_area(lower[-2], lower[-1], p) <= 0:
lower.pop()
lower.append(p)
return upper[:-1] + lower[:-1]
def largestTriangleArea(self, points: List[List[int]]) -> float:
hull_points = self.convex_hull(points)
M = len(hull_points)
if M < 3: return 0.0
ans = 0.0
i = 0
j = 1
k = 2
# O(M) 主迴圈，i 走一圈
while i < M:
p_i = hull_points[i % M]
# 內層迴圈優化 j 和 k 點的單調移動 (總移動次數 O(M))
while True:
p_j = hull_points[j % M]
# 優化 k 點：找到離 p_i p_j 基底最遠的點 p_k
while True:
p_k = hull_points[k % M]
p_k_next = hull_points[(k + 1) % M]
# 比較 p_k 和 p_{k+1} 誰離 p_i p_j 更遠
area_k = abs(get_signed_double_area(p_i, p_j, p_k))
area_k_next = abs(get_signed_double_area(p_i, p_j, p_k_next))
if area_k_next > area_k:
k = (k + 1) % M # k 點前進
else:
break # p_k 是最遠點
# 更新最大面積
ans = max(ans, area_k / 2.0)
# 優化 j 點：檢查 p_{j+1} 是否能形成更大的三角形
p_j_next = hull_points[(j + 1) % M]
area_j_next = abs(get_signed_double_area(p_i, p_j_next, p_k))
if area_j_next > area_k: # area_k 是 $\Delta p_i p_j p_k$ 的面積
j = (j + 1) % M # j 點前進
else:
break # j 點停止
# 移動 i 點
i += 1
# 確保指針順序 (避免 j 或 k 追上 i)
if j == i: j = (j + 1) % M
if k == j: k = (k + 1) % M
return ans
```
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## 總結：理論與實戰的取捨
實測結果是很棒的經驗！它告訴我們：**理論上複雜度低，不代表實際上跑得快**。
| 策略 | 複雜度 | 優點 | 實用建議 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **方法一** | $O(N^3)$ | 程式碼最簡單，**常數開銷最小**。 | **N 較小** ($N \le 50$) 時，這是最快的選擇。 |
| **方法二** | $O(N \log N + M^3)$ | 利用幾何性質，且 $M^3$ 檢查較為**穩健可靠**。 | **N 很大**，但 $M$ 預期較小時。 |
| **方法三** | $O(N \log N)$ | **漸進複雜度最低**。 | **N 極大** ($N \ge 10000$) 時的最終優化方案。 |
這三種方法各有所長，選擇哪個，完全取決於你的專案中對點的數量 ($N$) 和程式**穩健性**的要求！
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