演算法的逆襲：為何 O(N log N) 的排序，有時竟能擊敗 O(N) 的雜湊？

***此篇文章由 Gemini AI 產生*** ### **演算法的逆襲：為何 O(N log N) 的排序，有時竟能擊敗 O(N) 的雜湊？** 身為一個程式開發者，我們對時間複雜度（Big O）可說是瞭若指掌。O(N) 通常優於 O(N log N)，這幾乎是我們優化程式碼時的金科玉律。但如果我告訴你，在某些情況下，一個 O(N log N) 的演算法，在實際執行時竟然能穩定地擊敗 O(N) 的對手，你會怎麼想？ 這不是天方夜譚，而是在 LeetCode、專案優化、甚至面試中都可能遇到的真實場景。今天，就讓我們透過一個經典問題「最長和諧子序列 (Longest Harmonious Subsequence)」，來一場跨越 C++ 和 Python 的效能對決，揭開理論與現實之間的迷霧。 #### **戰場設定：最長和諧子序列** 問題很簡單：給定一個整數陣列 `nums`，找到其中最長「和諧子序列」的長度。所謂和諧子序列，是指該子序列中最大值與最小值的差，剛好為 1。 例如，對於 `nums = [1, 3, 2, 2, 5, 2, 3, 7]`，其最長和諧子序列是 `[3, 2, 2, 2, 3]`，由 2 和 3 組成，長度為 5。 解決這個問題，有兩種經典的思路： 1. **排序 + 滑動窗口 (Sorting + Sliding Window):** 先將陣列排序，然後用兩個指針 `l` 和 `r` 遍歷一次，找出符合條件的最長區間。時間複雜度是 O(N log N)，主要瓶頸在排序。 2. **雜湊表計數 (Hash Map):** 用一個雜湊表（在 Python 中是 `dict` 或 `Counter`）來計算每個數字出現的頻率。然後遍歷雜湊表，找出 `x` 和 `x + 1` 的頻率總和的最大值。時間複雜度是 O(N)，因為只需要遍歷陣列一次。 理論上，雜湊表法 (O(N)) 應該完勝排序法 (O(N log N))。讓我們來實際測試一下。 ----- ### **第一戰：C++ 的意外結局** 在 C++ 的世界裡，我們用 `std::sort` 和 `std::unordered_map` 來實現這兩種方法。 **方法一：排序 + 滑動窗口 (O(N log N))** ```cpp #include #include #include class Solution { public: int findLHS(std::vector& nums) { std::ranges::sort(nums); int ans = 0; int l = 0; for (int r = 1; r < nums.size(); ++r) { while (nums[r] - nums[l] > 1) ++l; if (nums[r] - nums[l] == 1) ans = std::max(ans, r - l + 1); } return ans; } }; ``` **方法二：雜湊表 (O(N))** ```cpp #include #include #include class Solution { public: int findLHS(std::vector& nums) { std::unordered_map freq; for (int num : nums) ++freq[num]; int ans = 0; for (const auto& [num, count] : freq) if (freq.count(num + 1)) ans = std::max(ans, count + freq.at(num + 1)); return ans; } }; ``` **驚人的結果：** 在多數的 LeetCode 測試案例中，**排序法的執行時間竟然比雜湊表法要短！** 這完全違背了我們對 Big O 的直覺。為什麼？答案藏在硬體底層。 #### **解密 C++：當快取為王 (Cache is King)** ##### **1. 記憶體存取模式：循序 v.s. 隨機** * **排序法**在排序完成後，其滑動窗口的操作是**循序存取 (Sequential Access)** 一塊連續的記憶體。這對 CPU 快取（Cache）極度友好。當 CPU 讀取 `nums[i]` 時，它會聰明地將 `nums[i+1]`, `nums[i+2]` 等鄰近資料一併載入到飛快的 L1/L2 快取中。下一次的存取幾乎是零延遲，因為資料早已在手邊。 * **雜湊表法**則完全不同。`freq[num]` 和 `freq[num + 1]` 在記憶體中的位置是透過雜湊函數計算得出的，它們幾乎肯定是**隨機分散 (Random Access)** 的。這會導致大量的**快取未命中 (Cache Miss)**，CPU 不得不頻繁地從慢速的主記憶體 (RAM) 中去抓取資料，效能因此大打折扣。 ##### **2. 隱藏的常數開銷** Big O 符號忽略了常數因子。`unordered_map` 的每次操作都伴隨著不小的開銷： * **雜湊計算：** 需要時間。 * **碰撞處理：** 無法避免，會帶來額外尋找成本。 * **記憶體分配：** 每個鍵值對都可能需要一次動態記憶體分配，這比 `vector` 的整塊分配慢得多。 在 C++ 這種「貼近硬體」的語言中，演算法與硬體（特別是 CPU 快取）的互動方式，往往比單純的理論複雜度更能決定最終效能。在這裡，排序法贏在它優雅而高效的記憶體存取模式。 ----- ### **第二戰：Python 的情勢逆轉** 現在，我們將戰場轉移到 Python。 **方法一：排序 + 滑動窗口 (O(N log N))** ```python class Solution: def findLHS(self, nums: List[int]) -> int: nums.sort() l = 0 ans = 0 for r in range(len(nums)): while nums[r] - nums[l] > 1: l += 1 if nums[r] - nums[l] == 1: ans = max(ans, r - l + 1) return ans ``` **方法二：`Counter` 雜湊表 (O(N))** ```python from collections import Counter class Solution: def findLHS(self, nums: List[int]) -> int: freq = Counter(nums) ans = 0 for num, count in freq.items(): if num + 1 in freq: ans = max(ans, count + freq[num + 1]) return ans ``` **預料之中的結果：** 在 Python 環境下，**`Counter` 雜湊表法輕易地擊敗了排序法**，完美符合 Big O 的理論預期。 為什麼情勢完全逆轉了？答案在於 Python 的語言特性。 #### **解密 Python：直譯器的代價與 C 語言的捷徑** ##### **1. 直譯器的巨大開銷** Python 是直譯語言。在排序法的滑動窗口迴圈中，`nums[r] - nums[l]` 這樣一行簡單的程式碼，背後需要經過 Python 直譯器繁重的工作：物件類型檢查、查找、分派操作等。這個「直譯器開銷」施加在迴圈的每一步上，積少成多，成為了巨大的效能瓶頸。 ##### **2. C 語言實現的「超車道」** Python 的高效，秘訣在於其豐富的、由 C 語言實現的內建函式庫。 * **`Counter(nums)`** 這個操作，其核心的計數邏輯完全是在**高效的 C 語言層級**執行的。Python 直譯器僅僅是發起一個呼叫，然後 C 程式碼就在幕後以極高的速度完成了 O(N) 的計數工作。 * 這個方法巧妙地將最主要的計算壓力，從緩慢的 Python 迴圈轉移到了飛快的 C 語言底層。 在 Python 的世界裡，快取帶來的效益依然存在，但它已經**不足以抵銷直譯器本身的巨大開銷**。效能的瓶頸從「記憶體存取」轉變成了「直譯器速度」。因此，誰能最大限度地減少在 Python 層級的迴圈次數，誰就是贏家。 ----- ### **結論：我們學到了什麼？** 這場跨越 C++ 和 Python 的效能對決，給我們帶來了幾個深刻的啟示： 1. **Big O 是指南，而非聖經：** 它描述了演算法在規模趨於無窮大時的趨勢，但在特定規模和特定環境下，常數因子和硬體互動同樣重要。 2. **了解你的語言：** C++ 讓你更貼近硬體，記憶體模式至關重要。Python 則提供了高效的 C 語言「捷徑」，善用內建函式庫是優化的關鍵。 3. **快取意識：** 無論使用何種語言，寫出對 CPU 快取友好的程式碼，都是一個通用的優化方向。 4. **實測為王 (Profile Your Code):** 當效能成為瓶頸時，不要猜測，要用實際的效能分析工具來找出問題所在。 下一次，當你面對一個演算法選擇時，除了分析 Big O，不妨也思考一下：**我的程式碼，將在怎樣的硬體和語言環境下運行？** 這個問題，或許能引導你找到通往極致效能的真正路徑。