解碼換水瓶問題：從直覺模擬到終極數學公式

***此篇文章由 Gemini AI 產生*** 大家好！我是 Coding Partner。今天想跟大家分享一個很有趣的程式問題，它看似簡單，但深入挖掘後會發現許多值得玩味的細節。 **問題情境：** 你手上有 `numBottles` 瓶水。喝完後，空瓶可以拿去回收兌換新的水。第一次兌換需要 `numExchange` 個空瓶，但之後每一次兌換所需的空瓶數都會加一。請問，你最多總共能喝到幾瓶水？ 這是一個典型的演算法問題，考驗我們如何將一個生活化的情境轉化為高效的程式碼。接下來，我會帶大家走過三種層次的思考：從最直觀的模擬，到有瑕疵的數學解，最終抵達一個堪稱完美的終極公式。 ### 第一層：直觀模擬法 — 穩紮穩打的起點 面對這個問題，第一個閃過腦中的念頭，就是「照著規則跑一次看看」。這就是模擬法。它的邏輯非常直接： 1. 先把手上的水全部喝掉，得到第一批空瓶。 2. 用一個迴圈不斷檢查：手上的空瓶夠不夠換下一次？ 3. 如果夠，就進行兌換，更新手上空瓶數、總共喝掉的瓶數，以及下一次兌換的成本。 4. 如果不夠，就結束。 這個思路清晰、不易出錯，寫成程式碼也相當直觀。 #### 模擬法程式碼 ```cpp #include class Solution { public: /** * @brief Calculates the maximum bottles drunk via simulation. * @param numBottles The initial number of full water bottles. * @param numExchange The number of empty bottles required for the first exchange. * @return The total number of bottles drunk. */ int maxBottlesDrunk_Simulation(int numBottles, int numExchange) { // Start by drinking all the initial bottles. int drunkBottles = numBottles; // These now become your initial empty bottles. int emptyBottles = numBottles; // Loop as long as we can afford the next exchange. while (emptyBottles >= numExchange) { // Perform one exchange. emptyBottles -= numExchange; // The cost for the next exchange increases. numExchange++; // We got a new bottle, so we drink it immediately. drunkBottles++; // That newly drunk bottle becomes an empty one. emptyBottles++; } return drunkBottles; } }; ``` 這個解法很棒，是個可靠的起點。但身為工程師，我們總會忍不住問：「有沒有可能更快？有沒有辦法不用迴圈，一次就算出來？」 ### 第二層：數學公式解 — 抓住核心關係 要擺脫迴圈，我們得換個思路。與其模擬「過程」，不如直接計算「結果」。我們可以問：**最多能進行幾次兌換？** 假設總共能兌換 `k` 次，那麼答案就是 `初始瓶數 + k`。為了算出 `k`，我們必須滿足一個核心條件： $$\text{Total Bottle Supply} \ge \text{Total Exchange Cost}$$ * **空瓶總供給量 (Total Bottle Supply)**：來自於 `numBottles` 個初始空瓶，以及 `k` 次兌換後新產生的 `k` 個空瓶，總共是 `numBottles + k`。 * **總兌換成本 (Total Exchange Cost)**：這是一個等差級數 `numExchange + (numExchange + 1) + ...` 的總和，其結果為 `(k/2) * (2 * numExchange + k - 1)`。 將這兩者放入不等式中： $$\text{numBottles} + k \ge \frac{k \times (2 \cdot \text{numExchange} + k - 1)}{2}$$ 經過整理與化簡，我們可以將這個不等式改寫成一個標準的二次不等式形式： $$k^2 + (2 \cdot \text{numExchange} - 3)k - 2 \cdot \text{numBottles} \le 0$$ 瞧！我們成功地把問題轉化成了一個國中數學的二次不等式問題。只要解出滿足這個不等式的最大整數 `k`，問題就解決了。 #### 有瑕疵的數學解程式碼 根據這個推導，我們可以寫出第一版的數學解程式碼。它使用 `floor()` 函數來取得 `k` 的最大整數解，並加上 `if` 判斷來處理無法首次兌換的邊界情況。 ```cpp #include #include class Solution { public: /** * @brief A flawed mathematical attempt to solve the problem. * It uses floor() and requires an explicit edge case check. */ int maxBottlesDrunk_FlawedMath(int numBottles, int numExchange) { // This guard clause is necessary because the formula below doesn't handle this case. if (numBottles < numExchange) { return numBottles; } double n = static_cast(numBottles); double x = static_cast(numExchange); double b = 2 * x - 3; double c = -2 * n; double t_root = (-b + std::sqrt(b * b - 4 * 1 * c)) / 2.0; // The intuitive approach: the number of exchanges is the floor of the root. int exchanges = static_cast(std::floor(t_root)); return numBottles + exchanges; } }; ``` 這個版本看起來不錯，但魔鬼，就藏在我們沒看到的細節裡。 ### 第三層：完美的細節 — `floor` vs `ceil - 1` 上面這個 `floor(t)` 的版本，在兩個關鍵的邊界情況會出錯： 1. **需要 `if` 補丁**：它無法自行處理 `numBottles < numExchange` 的情況，必須依賴一個額外的 `if` 判斷，顯得不夠優雅。 2. **資源正好用盡**：當 `t` 算出來剛好是整數時（例如 `t=2.0`），代表所有資源正好「完美用盡」。但在現實的逐步兌換中，這意味著你在支付最後一次費用時，會正好差一個空瓶（因為那個空瓶要等換完喝掉才有），導致兌換失敗。`floor(t)` 會多算出一次兌換。 這時，高手們發現了一個極其精妙的數學技巧來取代 `floor(t)`，那就是 `ceil(t) - 1`（對 `t` 無條件進位後再減一）。 我們來看看這個技巧有多神奇： * **當 `t` 不是整數 (如 2.7)**：`ceil(2.7) - 1 = 3 - 1 = 2`。這和 `floor(2.7) = 2` 結果一樣。 * **當 `t` 是整數 (如 2.0)**：`ceil(2.0) - 1 = 2 - 1 = 1`。它自動修正了「差一」的錯誤！ * **當初始無法兌換 (t \< 1，如 0.8)**：`ceil(0.8) - 1 = 1 - 1 = 0`。它竟然連 `if` 判斷都省了，直接得到正確的兌換次數 0！ 這個 `ceil(t) - 1` 的表達式，用純數學的優雅，完美地處理了所有邊界情況。 ### 終極程式碼 — 結合效率與優雅 現在，我們可以寫出最終版的程式碼了。它不僅是 O(1) 的時間複雜度，而且極其簡潔、強固。 ```cpp #include #include // Required for std::sqrt and std::ceil class Solution { public: /** * @brief Calculates the maximum number of bottles that can be drunk using a direct mathematical formula. * @param numBottles The initial number of full water bottles. * @param numExchange The number of empty bottles required for the first exchange. * @return int The total number of bottles drunk. */ int maxBottlesDrunk(int numBottles, int numExchange) { // Use long long for coefficients to prevent overflow if inputs are large. long long b = 2LL * numExchange - 3; long long c = -2LL * numBottles; // Discriminant from the quadratic formula: b^2 - 4ac double delta = (double)b * b - 4.0 * c; // The positive root of the quadratic equation double t_root = (-b + sqrt(delta)) / 2.0; // The number of exchanges 'k' is calculated using ceil(t) - 1. // This trick correctly handles both non-integer cases, perfect integer cases, // and the edge case where no exchanges are possible, all in one formula. int exchanges = (int)ceil(t_root) - 1; return numBottles + exchanges; } }; ``` ### 總結 從一個簡單的模擬迴圈，到一個帶有瑕疵的數學公式，再到一個能處理所有邊界情況的完美表達式，這個解題過程本身就是一趟精彩的旅程。它告訴我們，一個「能動」的程式和一個「完美」的程式之間，往往是對細節和邊界情況的極致追求。 希望這次的分享能對你有所啟發！祝大家寫程式愉快！

GitHub 上面清不掉的未讀訊息

看到 GitHub notification 消不掉的問題 才知道發生什麼事情。

本來是 GitHub 官方應該要處理的問題，我又不想安裝 GitHub CLI 來用，不如來順便練習一下 Vibe coding 好了，於是弄了一個 https://ghno.sylee.org/，程式碼放在 https://github.com/fourdollars/go-playground/tree/main/github-notifications-oauth 上面。

伺服器只是處理 OAuth 重導，跟透過使用者傳來的 Token 呼叫 GitHub API 而已，利用 https://github.com/settings/applications/new 註冊一個 OAuth app 來用，清空的感覺真好。

從模擬到數學魔法：解開「換酒問題」的奧秘

***此篇文章由 Gemini AI 產生*** 在程式設計的世界裡，我們時常遇到一些看似簡單，卻蘊含巧妙解法的問題。「換酒喝」或稱「空瓶換水」(Water Bottles) 就是一個典型的例子。這個問題不僅考驗我們的邏輯，更展示了如何從直觀的模擬思維，昇華到高效的數學公式解法。 今天，就讓我們一起踏上這段有趣的解題之旅，從頭到尾徹底理解這兩種方法的思路與奧妙。 ### 問題描述 > 給你 `numBottles` 瓶酒。你可以用 `numExchange` 個空酒瓶來換一瓶新酒。 > > 請問你總共可以喝到多少瓶酒？ **舉個例子：** 假設你有 9 瓶酒 (`numBottles = 9`)，並且 3 個空瓶可以換一瓶新酒 (`numExchange = 3`)。 - 你先喝掉 9 瓶，得到 9 個空瓶。 - 用 9 個空瓶換 3 瓶新酒。 - 喝掉 3 瓶新酒，得到 3 個空瓶。 - 再用 3 個空瓶換 1 瓶新酒。 - 喝掉 1 瓶新酒，剩下 1 個空瓶。 - 剩下 1 個空瓶，不夠再換了。 - 總共喝了 9 + 3 + 1 = 13 瓶。 ### 解法一：直觀模擬法 (The Simulation Approach) 身為工程師，我們的第一直覺通常是「模擬」。電腦最擅長的就是重複執行指令，所以我們可以寫一個迴圈，完整模擬整個換酒的過程。 #### 思考邏輯 1. **起始**：我們先把手上所有的酒 (`numBottles`) 喝完，這就是我們能喝到的基礎數量。 2. **迴圈**：只要手上的空瓶數量還足夠兌換 (`>= numExchange`)，我們就持續進行交換。 3. **交換**：在每一輪迴圈中，我們計算能換到多少瓶新酒 (`gain`)，並將其加入總數。 4. **更新**：手上的空瓶數會更新為「上一輪換完剩下的」加上「剛換來喝完的」。 5. **結束**：當空瓶數不再足以兌換時，迴圈結束，我們得到最終答案。 #### 程式碼實現 (C++) 這個邏輯直接、清晰，就像我們腦中沙盤推演一樣。 ```cpp class Solution { public: int numWaterBottles(int numBottles, int numExchange) { // Start with the initial number of bottles. int sum = numBottles; int emptyBottles = numBottles; // Keep exchanging as long as we have enough empty bottles. while (emptyBottles >= numExchange) { // Calculate how many new bottles we can get. int gain = emptyBottles / numExchange; // Add the newly obtained bottles to the total sum. sum += gain; // Update the count of empty bottles: // The remainder from the exchange + the new bottles we just drank. emptyBottles = (emptyBottles % numExchange) + gain; } return sum; } }; ``` 這個解法完全正確，而且很容易理解。但身為追求極致的開發者，我們不禁會想：有沒有更快、更優雅的方法？ ### 解法二：數學公式法 (The Mathematical Approach) 讓我們換個角度，尋找問題背後的數學規律。這個問題的核心可以轉化為：**每多喝一瓶「換來的」酒，我們淨消耗了多少空瓶？** #### 思考邏輯 - 你用 `numExchange` 個空瓶，換來 **1** 瓶新酒。 - 喝完這瓶新酒後，它又變成了 **1** 個空瓶回到你手上。 所以，你實際付出的代價是 `numExchange - 1` 個空瓶，就成功多喝了一瓶酒。 現在，問題變成了： **你最初喝完 `numBottles` 瓶後得到的 `numBottles` 個空瓶，總共能讓你完成多少次「淨消耗 `numExchange - 1` 個空瓶」的交換？** 這裡有個小細節：你手上的空瓶不可能全部都「淨消耗」掉，因為最後總會剩下不夠交換的瓶子。一個巧妙的理解方式是： > 想像你手上有 `numBottles` 個空瓶。你先拿出 1 個放在旁邊備用，剩下 `numBottles - 1` 個空瓶作為你的「週轉資本」。 > > 每當你想換酒時，就從「週轉資本」裡拿出 `numExchange - 1` 個，再把你旁邊備用的那 1 個湊上去，正好是 `numExchange` 個。 > > 換來新酒喝完，又得到 1 個空瓶，你再把它放到旁邊當作下一次的備用瓶。 這個過程可以一直持續下去，直到你的「週轉資本」耗盡為止。所以，你**額外**能喝到的酒瓶數，就等於： `額外瓶數 = (週轉資本) / (每次交換的淨成本)` `額外瓶數 = (numBottles - 1) / (numExchange - 1)` *（這裡使用整數除法，會自動捨去餘數，正好對應了資本不足、無法再換的情況）* 最後，把初始喝的瓶數和額外喝的瓶數相加，就是總數。 #### 程式碼實現 (C++) 這個驚人的發現，讓我們可以將原本的迴圈濃縮成一行程式碼。 ```cpp class Solution { public: int numWaterBottles(int numBottles, int numExchange) { // Edge case: If we can't even make one exchange initially. // This check is optional as the formula works even without it. if (numBottles < numExchange) { return numBottles; } // Total = Initial bottles + additional bottles gained from exchanges. return numBottles + (numBottles - 1) / (numExchange - 1); } }; ``` ### 結論 我們從一個直觀的模擬解法，透過轉換思考角度，最終得到了一個極其簡潔的數學公式。 | **特性** | **模擬解法** | **數學解法** | | :--- | :--- | :--- | | **直觀性** | ⭐⭐⭐⭐⭐ | ⭐⭐⭐ | | **效率** | O(log N) | O(1) | | **程式碼簡潔度** | ⭐⭐⭐ | ⭐⭐⭐⭐⭐ | | **核心思想** | 逐步模擬實際過程 | 分析資源的淨消耗 | 這趟解題之旅告訴我們，許多程式問題的背後都隱藏著數學規律。當我們能夠洞察其本質，就能寫出更高效、更優雅的程式碼。下次遇到類似問題時，不妨也試著跳出模擬的框架，尋找那把化繁為簡的數學鑰匙。 Happy Coding\!